Może.
Skierowanie na szkolenie może podpisać np. Naczelnik OSP, do skierowania wymaga się (a przynajmniej wymaga tego moja KM PSP):
zaświadczenia lekarskiego orzekające zdolność do bezpośredniego udziału w działaniach ratowniczych zgodnie z obowiązującymi przepisami prawnymi w tym zakresie ważne na czas szkolenia,
orzeczenia komisji lekarskiej lub zaświadczenia lekarskiego potwierdzającego okresowe badanie lekarskie, aktualne na czas trwania szkolenia*,
ubezpieczenia od następstw nieszczęśliwych wypadków ważne na czas szkolenia,
karty szkolenia wstępnego z zakresu bezpieczeństwa i higieny pracy
Tak więc jeśli ww. rzeczy ktoś ma ogarnięte inaczej niż przez Gminę (np. za badania lekarskie zapłacił z własnej kieszeni) to prawnie nie ma obowiązku pytania Gminy o zgodę.